Дудаев Михаил Алексеевич

Иркутский государственный университет путей сообщения

В статье рассмотрен вывод основных физико-математических зависимостей метода конечных элементов для балочного конечного элемента Тимошенко, работающего в условиях поперечного изгиба при статическом и динамическом нагружении и позволяющего более точно аппроксимировать поле перемещений по сравнению с классической теорией изгиба. Показано, что в этом случае податливость конечного элемента складывается из двух составляющих: «изгибной», вызванной действием изгибающего момента и «сдвиговой», вызванной действием поперечной силы, а угол поворота поперечного сечения отличается от угла наклона касательной к упругой оси изогнутой балки; при этом податливость сдвига существенно проявляется в коротких балках, длина которых соизмерима с высотой поперечного сечения. Математическая модель построена на основе вариационно-энергетического принципа теории упругости и метода конечных элементов. Для указанного типа конечного элемента получены полиномиальные функции формы, служащие для аппроксимации поля перемещений, с применением дифференциальных зависимостей, известных из курсов сопротивления материалов и теории упругости. Получены матрица градиентов функций форм, позволяющая определить вектор деформаций по известным значениям поля узловых перемещений, и матрица жесткости, имеющая ключевое значение в решении разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, выражение вектора напряжений и внутренних силовых факторов при поперечном изгибе, позволяющее определить их на основании узловых перемещений. Для полученной модели конечного элемента проведен анализ точности численного решения метода конечных элементов по отношению к аналитическому и представлено расхождение результатов расчета при использовании модели чистого изгиба балки и модели Тимошенко.

конечный элемент, метод конечных элементов, балка Тимошенко, поперечный изгиб, сдвиг, функции формы, матрица градиентов, матрица жесткости