Дудаев Михаил Алексеевич

Иркутский государственный университет путей сообщения

В статье предложена модификация классического алгоритма минимальной степени, предназначенного для упорядочения структуры глобальной матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, с целью повышения эффективности вычислительного алгоритма решения контактной задачи теории упругости при моделировании сопряжений деталей специальными контактными элементами сопряжения конструкций, применение которых обусловливает итерационное решение задачи с постепенным уточнением их состояния. Предложенная модификация реализована совместно с прямым методом Холецкого решения систем линейных алгебраических уравнений, вычислительная эффективность которого проявляется в наибольшей степени при решении систем с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов, преимущественно имеющей в методе конечных элементов, разреженную структуру. Важной проблемой в методе Холецкого является заполнение «треугольного множителя» по сравнению с исходной матрицей в процессе разложения; уменьшение заполнения реализуется обычно с использованием известных эвристических алгоритмов, среди которых существенное распространение получил алгоритм минимальной степени. Модификация этого алгоритма, предложенная в работе, симметричной перестановкой строк и столбцов упорядочивает структуру исходной глобальной матрицы таким образом, что позволяет в процессе итерационного решения контактных задач теории упругости, проводить частичное разложение Холецкого на повторных итерациях с экономией времени расчета по сравнению с полным разложением. В работе показано, что структура матрицы, упорядоченная модифицированным алгоритмом, в целом, является менее предпочтительной, нежели при использовании классического алгоритма минимальной степени, так как претерпевает большее заполнение, однако, эффективность применения вычислительного алгоритма достигается с проведением повторных итераций при постепенном уточнении состояния контактных конечных элементов сопряжения конструкций. С использованием тестовой конечноэлементной модели сборного ротора, а также модели роторной системы реального авиационного газотурбинного двигателя, определены и показаны портреты исходных матриц и их треугольных множителей, проведены оценки количества арифметических операций и условного времени их выполнения при использовании классического и модифицированного алгоритма минимальной степени.

метод конечных элементов, СЛАУ, контактная задача, метод Холецкого, разложение, факторизация, алгоритм минимальной степени, скалярные произведения, заполнение